BZOJ2306【CTSC2011】幸福路径 <概率DP>

Problem

【CTSC2011】幸福路径

Description

有向图有个顶点，点的权值为。现在有一只蚂蚁，从给定的起点出发，沿着图的边爬行。
开始时，它的体力为。每爬过一条边，它的体力都会下降为原来的倍，其中是一个给定的小于的正常数。而蚂蚁爬到某个顶点时的幸福度，是它当时的体力与该点权值的乘积。
我们把蚂蚁在爬行路径上幸福度的总和记为。很显然，对于不同的爬行路径，的值也可能不同。对值的最大可能值很感兴趣，你能帮助他计算吗？
注意，蚂蚁爬行的路径长度可能是无穷的。

Input

每一行中两个数之间用一个空格隔开。
输入文件第一行包含两个正整数，分别表示中顶点的个数和边的条数。
第二行包含个非负实数，依次表示个顶点权值。
第三行包含一个正整数，表示给定的起点。
第四行包含一个实数，表示给定的小于的正常数。
接下来行，每行两个正整数，表示是G的一条有向边。
可能有自环，但不会有重边。

Output

仅包含一个实数，即值的最大可能值，四舍五入到小数点后一位。

Sample Input

5 5
10.0 8.0 8.0 8.0 15.0
1 
0.5
1 2
2 3
3 4
4 2
4 5

Sample Output

18.0

HINT

对于的数据，，，，。

Source

Day 1

标签：概率DP

Solution

有点烦人的期望，为什么那么多人用倍增水过去…

以下做法转自将狼踩尽19891101的博客。

观察可知最后一定是走了一条链或一个环或一条链和一个环，所以分开出链和环的最大幸福度。设表示从走步到的最大幸福度，那么表示的情况一定是在环上绕了若干圈造成的。可知绕了这么多圈没有再次到的最大幸福度为。
令，则在这个环上无限绕下去的最大幸福度为

那么从走步到再从开始绕环的最大幸福度为，最终答案为这个值的最大值。

Code

#include <bits/stdc++.h>
#define MAX_N 100
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
typedef double dnt;
template <class T> inline void read(T &x) {
    x = 0; int c = getchar(), f = 1;
    for (; !isdigit(c); c = getchar()) if (c == 45) f = -1;
    for (; isdigit(c); c = getchar()) (x *= 10) += f*(c-'0');
}
int n, m, s, u[1005], v[1005];
dnt p, w[105], pw[105], ans;
dnt f[105][105][105], g[105];
int main() {
    read(n), read(m);
    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%lf", w+i);
    read(s), scanf("%lf", &p), pw[0] = 1.0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) pw[i] = pw[i-1]*p;
    for (int i = 1; i <= m; i++) read(u[i]), read(v[i]);
    for (int i = 1; i <= n; i++) for (int j = 1; j <= n; j++)
        for (int k = 0; k <= n; k++) f[i][j][k] = -INF;
    for (int i = 1; i <= n; i++) f[i][i][0] = g[i] = w[i];
    for (int stp = 1; stp <= n; stp++) for (int i = 1; i <= n; i++) for (int j = 1; j <= m; j++)
        f[i][v[j]][stp] = max(f[i][v[j]][stp], f[i][u[j]][stp-1]+w[v[j]]*pw[stp]);
    for (int i = 1; i <= n; i++) for (int stp = 1; stp <= n; stp++)
        g[i] = max(g[i], (f[i][i][stp]-w[i]*pw[stp])/(1-pw[stp]));
    for (int i = 1; i <= n; i++) for (int stp = 1; stp <= n; stp++)
        ans = max(ans, f[s][i][stp]-w[i]*pw[stp]+g[i]*pw[stp]);
    return printf("%.1lf\n", ans), 0;
}